Teoria gier dla każdego #1

Jakiś czas temu zadałem sobie pytanie, jak opowiadać o teorii gier w liceum. Okazuje się, że teorię gier dwuosobowych, która nie wymaga nadmiernego aparatu matematycznego, można całkiem rozsądnie wprowadzić już w średnio zaawansowanej klasie. Co ciekawe, aby wprowadzić podstawy zupełnie nowej i nieznanej uczniowi teorii, wystarczy znajomość podstawowych narzędzi matematycznych, takich jak funkcje, wektory. Na starcie potrzebujemy jednak jeszcze iloczynu kartezjańskiego. Nie jest to trudne pojęcie i chyba każdy uczeń, przy odrobinie dobrych chęci, może zrozumieć istotę tego pojęcia.

Teoria gier dwuosobowych (podejście szkolne)

Zacznijmy od jednego z klasycznych przykładów, który chociażby z uwagi na swoją nazwę, warty jest  zapamiętania. Na jego podstawie wprowadzimy intuicje, które obudujemy matematyką, która będzie punktem wyjścia do dalszych analiz.

Gra w cykora

Załóżmy, że na jednopasmowej jezdni stoją w pewnej odległości od siebie dwa samochody z kierowcami gotowymi do jazdy. Na ustalony sygnał ruszają naprzeciw siebie z coraz większą prędkością. Cykorem zostaje ten, kto pierwszy stchórzy i zatrzyma się przed rozpędzonym z naprzeciwka samochodem. 

Spróbujmy przeanalizować sytuację i zapisać ją językiem nieco bardziej zmatematyzowanym.

Kierowców nazywać będziemy odtąd nazywali graczami (gracz 1 i gracz 2). Każdy z graczy ma w naszej sytuacji dwie możliwości:
- jadę do końca,
- zatrzymuję się, gdy będziemy za blisko.

Możliwe są zatem cztery zakończenia:
1. Obaj wjeżdżają na siebie - kierowcy są np. ciężko ranni lub przynajmniej ich auta wyglądają jak na zdjęciu poniżej.
2. Gracz 1 się zatrzymuje, podczas gdy gracz 2 nadal jedzie - gracz 1 otrzymuje mało zaszczytny tytuł cykora, gracz 2 triumfuje.
3. Sytuacja odwrotna do tej z punktu 2 - gracz 2 jest cykorem.
4. Obaj zatrzymują się w bezpiecznej odległości od siebie - obaj okazali się cykorami, jednak żaden z nich nie uzyskał przewagi (podobnie jak w punkcie 1), ale przynajmniej obaj są cali.

Jak zatem podjąć właściwą decyzje, nie wiedząc co zrobi kierowca z naprzeciwka ?

Brakuje nam nieco danych, więc niezbędne kolejne matematyzowanie tej sytuacji.  Nazwijmy możliwe ruchy gracza 1 (tak samo będzie dla gracza 2, ale musimy skupić uwagę na jednym z nich):
k - jadę do końca,
z - zatrzymuje się, gdy zbliżymy się za bardzo,
i oznaczmy zbiór tych decyzji przez . Zatem . Analogicznie można to określić dla gracza 2.

Potrzebujemy teraz bliższej informacji na temat tego, jakie skutki przyniesie podjęcie decyzji przez każdego z kierowców. Określi funkcja (jedna dla każdego gracza), która zależy od decyzji podjętych przez obu graczy, a jej wartość określi, jak pomyślnie rozwiązała się sytuacja dla danego gracza. Przyjmijmy, że:





Jak odczytywać te zapisy?
Funkcja to tak zwana funkcja wypłaty gracza 1 za podjęcie decyzji x przy decyzji y gracza 2. Wypłata jest liczbowym przedstawieniem korzyści (lub straty) jaką odniesie gracz 1 przy takim układzie decyzji. Owa liczba ma w założeniu uwzględniać wszelkie dobra/straty materialne, moralne, mentalne (i jakie tam sobie jeszcze wymyślimy), jakie wiążą się z podjęciem decyzji przez obu graczy.

Samo nadawanie wartości liczbowych jest niełatwym zadaniem i tym problemem zajmuje się odrębna gałąź matematyki, a my nie będziemy się na tym skupiać.

Spójrzmy raz jeszcze na wartości funkcji wypłat dla graczy 1 i 2 i wróćmy do czterech możliwych zakończeń całej tej sytuacji.

1. Gracze jadą do końca - wówczas każdy z nich otrzymuje wypłatę -10, co oznacza, że żaden z nich nie zdobył przewagi i obaj otrzymali srogą nauczkę.
2. Gracz 1 podejmuje decyzję z, podczas gdy gracz 2 podjął decyzję k. Wówczas gracz 1 zostaje cykorem (wypłata -3) a gracz 2 może napawać się zwycięstwem (wypłata 3).
3. Sytuacja analogiczna do tej z pkt.2. Gracze są traktowani tak samo, więc wypłaty są zamienione.
4. Sytuacja, w której obaj wybierają z jest o wiele lepsza niż zostanie cykorem lub poszkodowanym (0>-3>-10), ale to nie to samo, co zostanie triumfatorem (0<3).

Cała dotychczasowa analiza pozwala na zdefiniowanie pojęcia gry dwuosobowej. Zostawiamy więc na razie pytanie postawione powyżej, ale wrócimy do niego w kolejnym tekście.

(wiem, że wzory wyglądają strasznie, ale nie znalazłem lepszego sposobu na ich sensowne wstawianie)